Question

【题目】已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为

（1）写出抛物线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于两点，点为坐标原点，求重心的轨迹方程；

（3）点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点分别是.当点在何处时，的值最小？求出的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）根据抛物线定义以及标准方程可得结果，（2）根据重心坐标公式得与A,B坐标关系，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得重心坐标参数方程，消去参数得轨迹方程，（2）根据射影定理得，再利用两点间距离公式求，结合二次函数性质求最值，即得结果.

解：（1）抛物线方程为：.

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，得：

设，则，设△AOB的重心为则，消去k得为所求，

②当直线垂直于x轴时， △AOB的重心也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，

根据圆的性质有：

当最小时，|MN|取最小值，

设P点坐标为，则

∴当，时，取最小值5，

故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.