Question

【题目】定义（，）为有限实数列的波动强度.

（1）求数列1，4，2，3的波动强度；

（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；

（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是正确的，详见解析（3）当为偶数时，，；当为奇数时，，

【解析】

（1）根据波动强度的定义直接计算；

（2）作差，利用或判断正负即可；

（3）设，，是单调递增数列，可整理，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0，分的奇偶性讨论，确定各自含有的的个数，进而求出的最大值.

解：（1）

（2）是正确的

证明：

或，

且

所以，即

并且当时，可以取等号，当时，可以取等号，

所以等号可以取到；

（3）设，，是单调递增数列.

分是奇、偶数情况讨论

，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.

当为偶数时，系数中有个和个，个和个.

当为奇数时，有两种情况：系数中有个和个，个；

或系数中有个和个，个.

[1]是偶数，，

[2]是奇数，，

因为，，可知

综上，当为偶数时，，；

当为奇数时，，