Question

【题目】如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．

（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；

（2）求三棱锥的体积；

（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当Q是中点时，直线，DC，AP交于一点，理由详见解析；（2）；（3）存在点Q，且点Q为的中点.

【解析】

(1)画出辅助线延长AP交DC于M,连结交于点Q,利用相似三角形证明即可.

(2)换顶点求解三棱锥的体积即可.

(3)以D为原点建立合适的空间直角坐标系,设,再利用线面夹角的向量解法求出即可.

解：（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点．

理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,

∵,∴,

∴．

∵,

∴,∴．

∴Q是中点．

（2）V棱锥棱锥．

（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系

则,,,,

,,

设面的法向量为,则

取,,即

设与面所成角为

则

化简得

解得或（舍去）

所以存在点Q,且点Q为的中点