Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx，h(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)若函数y＝h(x)的单调减区间是，求实数a的值；

(2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a＝3.(2) (－∞，1]．

【解析】试题分析：（1）对函数求导，已知单调性减区间，故1和是导函数的两个变号根，h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，这时只需检验一下在x∈时导函数是否小于0即可；（2）原不等式转化为a≤x－ (x>0)恒成立，研究φ(x)＝x－的单调性，求得该函数的最小值即可.

解析：

(1)由题意可知，h(x)＝x2－ax＋lnx(x>0)，

由h′(x)＝ (x>0)，

若h(x)的单调减区间是，

由h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，

而当a＝3时，h′(x)＝＝ (x>0)．

由h′(x)<0，解得x∈，

即h(x)的单调减区间是，

∴a＝3.

(2)由题意知x2－ax≥lnx(x>0)，

∴a≤x－ (x>0)．

令φ(x)＝x－ (x>0)，

则φ′(x)＝，

∵y＝x2＋lnx－1在(0，＋∞)上是增函数，且x＝1时，y＝0.

∴当x∈(0,1)时，φ′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，

即φ(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴φ(x)min＝φ(1)＝1，故a≤1.

即实数a的取值范围为(－∞，1]．