Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥面SCD；
（2）设点N是线段CD上的一点，且

AN

在

AD

方向上的射影为a，记MN与面SAB所成的角为θ，问：a为何值时，sinθ取最大值？

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据已知条件容易发现，取BC中点E，连接AE，ME，则能够证明平面AME∥平面SCD，所以AM∥面SCD；
（2）先找到MN与面SAB所成的角θ，根据已知条件，过N作NF∥AD，则NF⊥平面SAB，连接MF，MN，则∠FMN=θ，而sinθ=

NF

MN

，而根据已知条件知NF=a．所以根据条件求出MN即可，可以用a来表示MN．分别延长BA，CD相交于G，则有：

GA

GA+2

=

1

2

，所以可求出GA=2，而根据

a

2

=

2+2-FB

4

，可以用a表示出BF，这时候在△MBF中可根据余弦定理求出MF，所以在Rt△MNF中，可求出MN，即用a表示出MN=

5a2-12a+10

，所以sinθ=

a

5a2-12a+10

=

1 10( 1 a - 3 5 )2+ 7 5

，显然当

1

a

=

3

5

，即a=

5

3

时，sinθ最大．

解答： 解：（1）证明：如图，取BC中点E，连接AE，ME，则：
ME∥SC，CE=1；
∵AD=1，AD∥CE；
∴四边形ADCE是平行四边形；
∴AE∥CD；
又SC，CD?平面SCD，ME，AE?平面SCD；
∴ME∥平面SCD，AE∥平面SCD，ME∩AE=E；
∴平面AME∥平面SCD，AM?平面AME；
∴AM∥平面SCD；
（2）过N作NF∥AD；
∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AD，即AD⊥SA；
又AD⊥AB，SA∩AB=A；
∴AD⊥平面SAB；
∴NF⊥平面SAB；
连接MF，MN，则：∠FMN是MN与面SAB所成的角；
∴∠FMN=θ；
由题意知NF=a，延长BA交CD延长线于G，则：

GA

GA+2

=

1

2

；
∴GA=2；
由

NF

BC

=

GF

GB

得：

a

2

=

4-FB

4

；
∴FB=4-2a；
在△MBF中，∠MBF=45°，BM=

2

，FB=4-2a，由余弦定理得：
MF²=FB²+BM²-2FB•BM•cos45°=4a²-12a+10；
∴在Rt△MNF中，MN=

5a2-12a+10

；
∴sinθ=

a

5a2-12a+10

=

1

5- 12 a + 10 a2

=

1

10[( 1 a )2- 6 5 ( 1 a )]+5

=

1

10( 1 a - 3 5 )2+ 7 5

；
∴

1

a

=

3

5

，即a=

5

3

时，sinθ取最大值

35

7

．

点评：考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，以及余弦定理，配方法求二次函数的最值．