Question

已知抛物线y²=-4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为K的直线l与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E（x₀，0）．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x₀＜-3；
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出抛物线的准线方程，求出M的坐标，写出直线方程的点斜式，和抛物线方程联立后由判别式等于0得答案；
（2）利用一元二次方程的根与系数关系求出AB中点P的坐标，代入直线方程求P得纵坐标，写出AB的垂直平分线方程，求出与x轴交于E的坐标，由（1）中求得的k的范围得到x₀＜-3；
（3）若△PEF能成为以EF为底的等腰三角形，则EF中点的横坐标与P的横坐标相等，由此列式求得k的值．

解答： （1）解：由题意，M（1，0），
设斜率为k的直线方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，整理可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0．
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0，
∴-1＜k＜0或0＜k＜1．
∴k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）；     
（2）证明：由（1）知，k²x²-（2k²-4）x+k²=0．
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P．
∴P的横坐标为

k2-2

k2

，
代入y=k（x-1），可得P的纵坐标为-

2

k

．
∴AB的垂直平分线方程为y+

2

k

=-

1

k

（x-

k2-2

k2

）．
令y=0，可得x=-1-

2

k2

．
∵-1＜k＜0或0＜k＜1，
∴k²＜1且k≠0，
∴

2

k2

＞2，
∴1+

2

k2

＞3，即x₀＜-3；
（3）若△PEF能成为以EF为底的等腰三角形，则
由EF中点的横坐标与P的横坐标相等，可得

-1-1- 2 k2

2

=

k2-2

k2

，
∴2k²=1．
即k=±

2

2

．
故△PEF能成为以EF为底的等腰三角形，此时k=±

2

2

．

点评：本题考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的关系，综合考查了学生灵活运用抛物线的性质求解问题的能力，是高考试卷中的压轴题．