Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=

3

acosC．
（1）求角C的大小；
（2）当

3

sinA-cosB取得最大值时，请判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）已知等式变形后利用正弦定理化简，整理后求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）根据C的度数，利用内角和定理用A表示出B，代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数，进而求出此时B与C的度数，即可对三角形ABC形状做出判断．

解答：解：（1）由csinA=

3

acosC，结合正弦定理得，

a

sinA

=

c

3 cosC

=

c

sinC

，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）由（1）知B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA-cosB=

3

sinA-cos（

2π

3

-A）=

3

sinA-cos

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
当A+

π

6

=

π

2

时，

3

sinA-cosB取得最大值1，
此时A=

π

3

，B=

2π

3

-A=

π

3

，C=

π

3

，
则此时△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．