Question

6．若不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，4]
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，4）
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 将不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立转化为a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，运用基本不等式求出$\frac{{x}^{2}}{x-1}$的最小值即可．

解答 解：∵不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，即a＜$（\frac{{x}^{2}}{x-1}）_{min}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1+1）^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2+2=4，
当且仅当x=2时，取得最小值4．
∴a＜$（\frac{{x}^{2}}{x-1}）_{min}$=4．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了恒成立问题的解法：注意运用参数分离和基本不等式，属于中档题．