Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程及焦点坐标.

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于、两点，过椭圆上不同于点、的任意一点，作直线、分别交轴于、两点.证明：点、的横坐标之积为定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 标准方程为，焦点坐标为.(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得，.则所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.

（Ⅱ）由题意可知的方程为：，的方程为：，则，.结合椭圆方程计算可得为定值.

详解：

（Ⅰ）由题知，又因为离心率，所以，则.

所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.

（Ⅱ）、两点的横坐标之积为定值，且定值为3.

设点，，.

则的方程为：，①

的方程为：，②

联立①②得，.

所以 ，

又因为，

.