Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）若cn=

2bn

an•an+1

，证明：c1+c2+…+cn＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n+1=2（a_n-1+1）即可证明{a_n+1}是等比数列．
（2）由（1）利用等比数列的通项公式和已知即可得出；
（3）证法一：利用cn=

2n

anan+1

，由于{a_n}为正项数列，可得以{c_n}也为正项数列，从而

cn+1

cn

＜

1

2

，可得数列{c_n}递减．通过放缩法，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；
证法二：由于cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用“裂项求和”和放缩法即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1得a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．     
（2）由（1）得an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1，n∈N*
∴bn=log2(an+1)=log22n=n，n∈N*．
（3）证法一：cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

由{a_n}为正项数列，所以{c_n}也为正项数列，
从而

cn+1

cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-1

＜

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，
∴数列{c_n}递减．
c1+c2+…+cn＜c1+

1

2

c1+(

1

2

)2c1+…+(

1

2

)n-1c1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

•c1＜

4

3

．
证法二：由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴c1+c2+…+cn=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1＜

4

3

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”和放缩法等基础知识与基本技能方法，属于难题．