Question

16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．

Answer 1

分析 由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）-1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（-e）=2，f′（e）-f′（-e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．

解答 解：f（x）=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+1，
令g（x）=f（x）-1=e^x-e^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
则g（-x）=f（-x）-1=${e}^{-x}-{e}^{x}+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，
g（x）+g（-x）=0，故g（x）为奇函数，
g′（x）=f′（x）=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}•（\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}+1）$=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
由g′（x）-g′（-x）=${e}^{x}+{e}^{-x}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-${e}^{-x}-{e}^{x}-\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=0$，
可知g′（x）=f′（x）为偶函数，
g（e）+g（-e）=f（e）-1+f（-e）-1=0，
∴f（e）+f（-e）=2．
又f′（e）=f′（-e），
∴f′（e）-f′（-e）=0，
∴f（e）+f′（e）+f（-e）-f′（-e）=2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的运算，考查了函数奇偶性的性质，考查数学转化思想方法，考查了灵活运算能力，是中档题．