Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，，且，．

Ⅰ求证：平面ACF；

Ⅱ求直线AE与平面ACF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

Ⅰ取AC与BD的交点为O，连OF，证明，且，即可证明，进而得到平面ACF；

Ⅱ将线面角转化为，或者建立坐标系，用向量法处理．

解：Ⅰ证明：取AC与BD的交点为O，连OF，

，，

四边形EFOD为平行四边形，

，

平面平面AFC，

平面ACF；

Ⅱ解法一：平面ABCD，

，又，

四边形ABCD为菱形，

，

平面ACF，

是直线AE与平面ACF所成角，

可得，，，

.

方法二：易证OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴建系，如图，

，

设平面ACF法向量为，

得一个法向量，

，

直线AE与平面ACF所成角的正弦值．