Question

如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.

(1)求证DM∥平面APC;

(2)求证平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=PC=4, 求二面角P-AB-C的正弦值.

 

Answer 1

(3)

【解析】

试题分析：

(1)从平面内找一条与平行的直线,根据题意可知, 是的中位线,有∥,则证明.

(2)要证面面垂直得有线面垂直,根据题意可证,从而得到,进而有,最终可证.

(3)首先得做出二面角的平面角,所以过作，垂足为，连接,猜想为二面角的平面角,根据二面角的平面角定义,只需证明 ,显然根据已知以及(1)中的结论,可证平面,则可证明猜想.将放入中,即可求其正弦值.

 

证明为中点, 为中点,

中,有∥,

又,

∥平面

(2)证明为正三角形,且为中点,

又由(1)知, ∥.

又,

(3)

过作，垂足为，连接，

，为中点，

，又由（2）知平面，

,平面,

 

又平面,

为二面角的平面角

,为中点,,又由（2）平面，∴，，

又 ，为中点,为正三角形，

∴，

∴，

∴

∴在，

即二面角的正弦值为．

考点：线面平行，面面垂直，二面角.