Question

22、已知函数f（x）=e^x-kx（x∈R）
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．

解答：解：（1）f'（x）=e^x-e，令f'（x）=0，解得x=1
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）单调递减．（6分）
（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立
当x≥0时，f'（x）=e^x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk
（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e
（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=e^x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1
综上，0＜k＜e．（12分）．

点评：本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．本题的第二问实际上是e^x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分离参数构造函数进行解答，即：当x=0时，k∈R；当x＞0时，
由e^x-kx＞0，得$k＜\frac{e^x}{x}$，令$φ（x）=\frac{e^x}{x}$，只要k＜[φ（x）]_min即可．