Question

【题目】设椭圆的焦点在轴上.

（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；

（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且.证明：当变化时，点在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据焦距为，，，解得，从而求得椭圆方程；（2）设点的坐标为，利用直线的方程求得点的坐标，将坐标代入，化简得，代入椭圆方程，求得，且，所以点在定直线上.

试题解析：

（1）依题意，，即，

所以椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）设，其中，

因为直线交轴于点，所以，

故直线的斜率，直线的斜率，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

直线的方程为点的坐标为，

所以直线的斜率为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

由于，所以，

化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

因为为椭圆上第一象限内的点，将上式代入，得

，且，所以点在定直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分