【题目】为了保证食品的安全卫生,食品监督管理部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研,检测某种有害微量元素的含量,随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克).规定:当食品中的有害微量元素的含量在时为一等品,在
为二等品,20以上为劣质品.
(1)用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据,再分别从这5个数据中各选取2个,求抽到食品甲包含劣质品的概率和抽到食品乙全是一等品的概率;
(2)在概率和统计学中,数学期望(或均值)是基本的统计概念,它反映随机变量取值的平均水平.变量的一切可能的取值与对应的概率
乘积之和称为该变量的数学期望,记为
.
参考公式:变量的取值为
,
对应取值的概率
,可理解为数据
出现的频率
,
.
①每生产一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣质品亏损20元,根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率,分别估计这两种食品为一等品、 二等品、劣质品的概率,若分别从甲、乙食品中各抽取1件,求这两件食品各自能给该厂 带来的盈利期望.
②若生产食品甲初期需要一次性投入10万元,生产食品乙初期需要一次性投人16 万元,但是以目前企业的状况,甲乙两条生产线只能投资其中一条.如果你是该食品厂负责人,以一年为期限,盈利为参照,请给出合理的投资方案.
【答案】(1);(2)①.答案见解析;②.答案见解析.
【解析】分析:(1)利用列举法从个数据中各选取
个,共有
种选法,其中抽到食品甲包含劣质品有
种,抽到食品乙全是一等品的有
种,由古典概型概率公式可得结果;(2)①利用统计图能求出分别从甲、乙食品中各抽取
件,这两种食品各自能给该厂带来的盈利期望
,
;②假设一年都生产
件甲和乙
,则甲的利润函数为
,则乙的利润函数为
. 当
时,
;当
时,
,由此能求出结果.
详解:(1) 用分层抽样方法抽到食品甲是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为,
抽到食品乙是一等品、二等品、劣质品的样本个数分别为3,1,1,
记为,
食品甲 5 个样本抽取 2 个有共 10 种,
包含劣质品的有共4种.
∴.
食品乙 5 个样本抽取 2 个有共 10 种,
全是一等品的有共3种.
∴.
(2)①元
元
②假设一年都生产件甲和乙
,
则甲的利润函数为,
则乙的利润函数为.
当时,
;
当时,
,
即年产量小于10000件时投资甲生产线,
等于10000件时投资两条生产线一样,
大于10000件时投资乙生产线.
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【题目】已知实数
使得函数
在定义域内为增函数;
实数
使得函数
在
上存在两个零点
,且
分别求出条件
中的实数
的取值范围;
甲同学认为“
是
的充分条件”,乙同学认为“
是
的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由.
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【题目】2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北(潜江)龙虾节”,为了解不同年龄的人对“中国湖北(潜江)龙虾节”的关注程度,某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查,经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为。
关注 | 不关注 | 合计 | |
年轻人 | 30 | ||
中老年人 | |||
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)根据已知条件完成上面的列联表,并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北(潜江)龙虾节”是否和年龄有关?
(2)现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查,若再从这6人中选取3人进行面对面询问,记选取的3人中关注“中国湖北(潜江)龙虾节”的人数为随机变量,求
的分布列及数学期望。
附:参考公式其中
。
临界值表:
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6635 | 10.828 |
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【题目】如图,分别过椭圆左、右焦点
的动直线
相交于
点,与椭圆
分别交于
与
不同四点,直线
的斜率
满足
.已知当
与
轴重合时,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在定点,使得
为定值?若存在,求出
点坐标并求出此定值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
,
和
.
【解析】试题分析:(1)当与
轴重合时,
垂直于
轴,得
,得
,
从而得椭圆的方程;(2)由题目分析如果存两定点,则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ,所以把
坐标化,可得
点的轨迹是椭圆,从而求得定点
和点
.
试题解析:当
与
轴重合时,
, 即
,所以
垂直于
轴,得
,
,, 得
,
椭圆
的方程为
.
焦点
坐标分别为
, 当直线
或
斜率不存在时,
点坐标为
或
;
当直线斜率存在时,设斜率分别为
, 设
由
, 得:
, 所以:
,
, 则:
. 同理:
, 因为
, 所以
, 即
, 由题意知
, 所以
, 设
,则
,即
,由当直线
或
斜率不存在时,
点坐标为
或
也满足此方程,所以点
在椭圆
上.存在点
和点
,使得
为定值,定值为
.
考点:圆锥曲线的定义,性质,方程.
【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查,第一问通过两个特殊位置,得到基本量,
,得
,
,从而得椭圆的方程,第二问由题目分析如果存两定点,则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ,本题的关键是从这个角度出发,把
坐标化,求得
点的轨迹方程是椭圆
,从而求得存在两定点
和点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知,
,
.
(Ⅰ)若,求
的极值;
(Ⅱ)若函数的两个零点为
,记
,证明:
.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当时,
,现已画出函数在y轴左侧的图象,如图所示,请根据图象.
(1)将函数的图象补充完整,并写出函数
的递增区间;
(2)写出函数的解析式;
(3)若函数,求函数
的最小值.
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【题目】小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量(百件)与销售单价x(元/件)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1000元,该店还应交付的其它费用为每月10000元.
(1)把y表示为x的函数;
(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;
(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出)
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【题目】已知函数是奇函数,
为偶函数,
且(e是自然对数的底数).
(1)分别求出和
的解析式;
(2)记,请判断
的奇偶性和单调性,并分别说明理由;
(3)若存在,使得不等式
能成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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