Question

【题目】已知函数是奇函数，为偶函数，且（e是自然对数的底数）.

（1）分别求出和的解析式；

（2）记，请判断的奇偶性和单调性，并分别说明理由；

（3）若存在，使得不等式能成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）增函数，减函数，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由得，联立解方程组即可；

（2）代入化简得出得出函数的解析式，分离常数，根据定义与性质得出函数的奇偶性与单调性；

（3）利用奇偶性与单调性得不等式，利用整体思想、借助二次函数的性质即可得出结论．

（1）函数是奇函数，为偶函数，

且①

即：②

由①②得，

（2）由（1）知，，

是减函数，所以是R上的增函数，

因为，所以是奇函数；

（3）由不等式得，

因为是奇函数，所以，

又因为是R上的增函数，所以，

所以存在使成立，

设，

则，

因为所以

所以时有最大值6，

所以，

即m的范围是.