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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCDPD∥QAQA=AB=PD.

I)证明:平面PQC⊥平面DCQ

II)求二面角Q-BP-C的余弦值.

【答案】I)证明见解析;(II.

【解析】

首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,xyz轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz;(Ⅰ)根据坐标系,求出的坐标,由向量积的运算易得;进而可得PQDQPQDC,由面面垂直的判定方法,可得证明;(Ⅱ)依题意结合坐标系,可得B的坐标,进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量,进而求出cos>,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.

如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

)依题意有

,所以

.,

平面.

平面,所以平面平面.

II)依题意有==.

是平面的法向量,则

因此可取

是平面的法向量,则

可取所以,

且由图形可知二面角为钝角

故二面角的余弦值为

练习册系列答案
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