【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(II)求二面角Q-BP-C的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz;(Ⅰ)根据坐标系,求出
的坐标,由向量积的运算易得
;进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得证明;(Ⅱ)依题意结合坐标系,可得B、
的坐标,进而求出平面的PBC的法向量
与平面PBQ法向量
,进而求出cos<
,
>,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.
如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,为x、y、z轴建立空间直角坐标系
.
(Ⅰ)依题意有,
,
,
则,
,
,所以
,
,
即⊥
,
⊥
.且
,
故⊥平面
.
又平面
,所以平面
⊥平面
.
(II)依题意有,
=
,
=
.
设是平面
的法向量,则
即
因此可取
设是平面
的法向量,则
可取所以
,
且由图形可知二面角为钝角
故二面角的余弦值为
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【题目】已知直线经过椭圆
:
的左顶点
和上顶点
,椭圆
的右顶点为
,点
是椭圆
上位于
轴上方的动点,直线
与直线
分别交于
两点。
(1)求椭圆方程;
(2)求线段的长度的最小值;
(3)当线段的长度最小时,在椭圆上有两点
,使得
,
的面积都为
,求直线
在y轴上的截距。
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当时,
,现已画出函数在y轴左侧的图象,如图所示,请根据图象.
(1)将函数的图象补充完整,并写出函数
的递增区间;
(2)写出函数的解析式;
(3)若函数,求函数
的最小值.
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【题目】已知函数是奇函数,
为偶函数,
且(e是自然对数的底数).
(1)分别求出和
的解析式;
(2)记,请判断
的奇偶性和单调性,并分别说明理由;
(3)若存在,使得不等式
能成立,求实数m的取值范围.
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【题目】甲将要参加某决赛,赛前,
,
,
四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知
,
选择甲的概率均为
,
,
选择甲的概率均为
,且四人同时选择甲的概率为
,四人均末选择甲的概率为
.
(1)求,
的值;
(2)设四位同学中选择甲的人数为,求
的分布列和数学期望.
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