Question

【题目】已知直线经过椭圆: 的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。

（1）求椭圆方程；

（2）求线段的长度的最小值；

（3）当线段的长度最小时，在椭圆上有两点，使得,的面积都为，求直线在y轴上的截距。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．
（2）引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．
（3）在上一问的基础上求出的参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段SB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为 即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l'，即有得到y轴上的截距．

解（1）由已知得椭圆的左顶点 (-2，0)，上顶点（0，1），

得,故椭圆方程：

（2）直线AS的斜率k显然存在，且大于0，故设直线AS：，

得

由得

设，则，可得

从而，即

B（2，0），直线BS：

可得，，

，当且仅当时，线段长度最小值为。

（3），直线BS的方程为，

椭圆上有两点使三角形面积为，则点到BS的距离等于，

设直线：，由，得或

①当，联立得，检验，符合题意。

②，联立得，检验，舍去。

综上所述，直线在y轴上的截距是