Question

【题目】已知函数 且是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）设 且，若，是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)见解析

【解析】

（1）由奇函数的性质，可求出的值；（2）由，可以求出的范围，进而可以得到的单调性，然后利用奇函数的性质，可以得到，从而得到对任意都有恒成立，利用二次函数的性质即可求出的取值范围；（3）由可求出，假设存在实数，构造函数，则，对进行分类讨论，即可判断的值。

（1）因为的定义域为，且为奇函数，

所以，解得.检验：当时，，

对任意，都有，即是奇函数，所以成立。

（2）由（1）可得，由可得

因为，所以，解得，

则在单调递减，在单调递增，

所以在单调递减，

由可得，

所以对任意都有恒成立，

即对任意恒成立，

所以，解得.

（3），

由可得，即，

因为，所以.

所以，易知在单调递增.

令，则，

再令，则

因为，，

，

所以.因为在有意义，

所以对任意，都有恒成立，

所以，即

所以，所以.

二次函数图像开口向上，对称轴为直线，

因为，所以，

对称轴始终在区间的左侧

所以在区间单调递增，

当时，，

时，，

假设存在满足条件的实数，则：

若，则为减函数，，

即，所以，舍去；

若，则为增函数，，

即，所以，舍去.

综上所述，不存在满足条件的实数.