Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（-1，0），且椭圆C的离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁，A₂，Q是椭圆C上异于A₁，A₂的任一点，直线QA₁，QA₂分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=

16

7

相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意：

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得：a=2，b=

3

所以椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）可知A1(0，

3

)，A2(0，-

3

)，设Q（x₀，y₀），
直线QA₁：y-

3

=

y0- 3

x0

x，令y=0，得xS=

- 3 x0

y0- 3

；     
直线QA₂：y+

3

=

y0+ 3

x0

x，令y=0，得xT=

3 x0

y0+ 3

；
则|OS|•|OT|=|

- 3 x0

y0- 3

•

3 x0

y0+ 3

|=|

3 x 20

y 20 -3

|，
而

x 20

4

+

y 20

3

=1，所以3

x

20

=4(3-

y

20

)，
所以|OM|•|ON|=|

3 x 20

y 20 -3

|=4；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则

m2

4

+

n2

3

=1，即m2=4-

4

3

n2．
设圆心到直线l的距离为d，则d=

2

m2+n2

，且d＜

4 7

7

．
所以|AB|=2

16 7 -d2

=2

16 7 - 4 m2+n2

．
所以S△OAB=

1

2

•|AB|•d=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

．
因为d＜

4 7

7

，所以m2+n2＞

7

4

，所以

16

7

-

4

m2+n2

＞0．
所以S△OAB=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

≤

( 4 m2+n2 + 16 7 - 4 m2+n2 2

)2=

8

7

．
当且仅当

4

m2+n2

=

16

7

-

4

m2+n2

，即m2+n2=

7

2

＞

7

4

时，S_△OAB取得最大值

8

7

．
由

m2+n2= 7 2 m2=4- 4 3 n2

，解得

m2=2 n2= 3 2

．
所以

m= 2 n= 6 2

或

m= 2 n=- 6 2

或

m=- 2 n= 6 2

或

m=- 2 n=- 6 2

．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
(

2

，

6

2

)，(

2

，-

6

2

)，(-

2

，

6

2

)或(-

2

，-

6

2

)．
此时△OAB的面积为

8

7

．