Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，且

a

，

b

不共线，则向量

a

-

b

与

b

的夹角θ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由于

a

，

b

不共线，可知|

a

|，|

b

|，|

a

-

b

|可组成三角形．令

OA

=

a

，

OB

=

b

，则

BA

=

a

-

b

．设|

a

-

b

|=m，可得1＜m＜3．再利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵

a

，

b

不共线，∴|

a

|，|

b

|，|

a

-

b

|可组成三角形．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，则

BA

=

a

-

b

．
设|

a

-

b

|=m，则2-1＜m＜2+1，∴1＜m＜3．
∴cos（π-θ）=

| b |2+| a - b |2-| a |2

2| b | | a - b |

=

22+m2-12

2×2×m

=

m2+3

4m

=

1

4

(m+

3

m

)≥

1

4

×2

m• 3 m

=

3

2

，
∴0＜π-θ≤

π

6

，
∴

5π

6

≤θ＜π．
故答案为：[

5π

6

，π)．

点评：本题考查了向量的三角形法则、余弦定理、基本不等式及其组成三角形的条件等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合思想方法，属于中档题．