Question

若存在实数a，b（0＜a＜b）满足a^b=b^a，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,有理数指数幂的化简求值

专题：导数的综合应用

分析：0＜a＜b）满足a^b=b^a，由blna=alnb，化为

lna

a

=

lnb

b

，令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），利用导数研究其单调性极值与最值，画出其图象即可得出．

解答： 解：∵0＜a＜b）满足a^b=b^a，
∴blna=alnb，化为

lna

a

=

lnb

b

，
令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），
则f′（x）=

1-lnx

x2

，
可得x＞e时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=

1

e

．
当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→0．
∴当a∈（1，e）时，函数y=k与f（x）=

lnx

x

的图象有两个交点．
∴实数a的取值范围是（1，e），
故答案为：（1，e）．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．