Question

若x≥0，y≥0，且x+2y=1，那么2x+3y²的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：函数的性质及应用

分析：x≥0，y≥0，且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，0≤y≤

1

2

．因此2x+3y²=3y²+2（1-2y）=3(y-

2

3

)2+

2

3

=f（y），利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵x≥0，y≥0，且x+2y=1，
∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤

1

2

．
∴2x+3y²=3y²+2（1-2y）=3(y-

2

3

)2+

2

3

=f（y），
∵此函数f（y）在y∈[0，

1

2

]上单调递减，
∴最大值为f（0）=2，最小值为f(

1

2

)=

3

4

．
∴2x+3y²的取值范围为[

3

4

，2]．
故答案为：[

3

4

，2]．

点评：本题考查了二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．