Question

已知双曲线C与椭圆

x2

16

+

y2

12

=1有共同的焦点F₁，F₂，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F₂的距离为4，则PF₂的中点M到坐标原点O的距离等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的焦点和离心率，由题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF₁|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长．

解答： 解：椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的焦点为（-2，0），（2，0），
离心率为

2

4

=

1

2

，
由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，
则双曲线的离心率为2，
由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
又|PF₂|=4，则|PF₁|=2+4=6，
由M为PF₂的中点，O为F₁F₂的中点，
则|OM|=

1

2

|PF₁|=

1

2

×6=3．
故答案为：3．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的运用，运用双曲线的定义和中位线定理是解题的关键．