Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2- 2 t y=-1+ 2 t

（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=

2

1+2sin2θ

．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）是判断曲线C₁与C₂是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）利用（1）的结论进一步联立方程组根据判别式和根和系数的关系，求出弦长．

解答： 解：（1）对于曲线曲线C₁的参数方程

x=2- 2 t y=-1+ 2 t

，转化成直角坐标方程为：x+y=1，
对于曲线C₂的极坐标方程转化成直角坐标方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）显然曲线C_1：x+y=1，则其参数方程可写为

x=2- 2 2 t y=-1+ 2 2 t

①（t为参数）与曲线C₂：

x2

4

+y2=1②联立，
得到：

5

2

t2-6

2

t-4=0
所以：可知△＞0，所以C₁与C₂存在两个交点，
由t1+t2=

12 2

5

，t1t2=

8

5

，
得d=|t2-t1|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

8 2

5

．

点评：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，判别式的应用，根和系数的关系的应用，弦长公式的应用，属于基础题型．