Question

已知数列{a_n}满足a_na_n+1=（-1）ⁿ（n∈N⁺），a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₉₉=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列 {a_n}满足a_na_n+1=（-1）ⁿ（n∈N⁺），a₁=1，可得a_n+1a_n+2=（-1）ⁿ⁺¹，a_n+4=a_n．利用周期性即可得出．

解答： 解：∵数列 {a_n}满足a_na_n+1=（-1）ⁿ（n∈N⁺），a₁=1，
∴a_n+1a_n+2=（-1）ⁿ⁺¹，
∴

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=-1，
∴a_n+2=-a_n，
∴a_n+4=a_n．
取n=1可得a₁a₂=-1，解得a₂=-1，
同理可得a₃=-1，a₄=1．
∴S₉₉=25（a₁+a₂+a₃+a₄）-a₁=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．