Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，若S₃=7，且a₁，a₂+1，a₃+1构成等差数列；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+a2+a3=7 a1+(a3+1)=2(a2+1)

，解得a₂=1，从而a1=

2

q

，a3=2q，进而2q²-5q+2=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，得b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2，由此利用等差数列前n项和公式能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a1+a2+a3=7 a1+(a3+1)=2(a2+1)

，
解得a₂=1，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，得a1=

2

q

，a3=2q，
由S₃=7，得

2

q

+2+2q=7，∴2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=

1

2

（不合题意，舍去），
∵a₁=1，q=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2，
∴{b_n}是等差数列，
∴T_n=

n

2

(b1+bn)=

n(2ln2+2nln2)

2

=n（n+1）ln2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．