Question

已知等比数列{a_n}中，公比q＞1，a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+1log₂a_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使得2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比数列的性质可得，a₂a₃=a₁a₄=8，从而a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的两个根，且a₁＜a₄，解方程，得a₁=1，a₄=8，由此能求出an=2n-1．
（2）由b_n=a_n+1log₂a_n+1=2nlog22n=n•2ⁿ，利用错位相减法得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．由2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2，得到2ⁿ⁺¹＞60，由此能求出使得2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

解答： 解：（1）由等比数列的性质可得，a₂a₃=a₁a₄=8
∵q＞1，且a₁+a₄=9，
a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的两个根，且a₁＜a₄，
解方程，得a₁=1，a₄=8，
∴q³=8，解得q=2，
∴an=2n-1．
（2）b_n=a_n+1log₂a_n+1=2nlog22n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∵2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2，
∴n•2ⁿ⁺¹＞60n，即2ⁿ⁺¹＞60，
解得n+1＞6，即n＞5，
∴使得2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值为6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使得2ⁿ⁺¹+S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．