Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…）
（1）求a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

an+1

Sn+1Sn

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推公式能求出a₂．
（2）由a_n+1=2S_n+2，得当n≥2时，a_n=2S_n-1+2，从而a_n+1=3a_n（n≥2），从而得到{a_n}是首项为2，公比这3的等比数列，由此能求出a_n=2×3^n-1．
（3）由a_n+1=2S_n+2，得S_n=

an+1

2

-1=3ⁿ-1，从而b_n=

an+1

Sn+1Sn

=

2×3n

(3n+1-1)(3n-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，由此利用裂项求和法能证明b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…），
∴a₂=2S₁+2=2a₁+2=6．
（2）解：∵a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n=1，2，3…）①
∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+2，②
①-②，得a_n+1=3a_n（n≥2），
∵a₁=2，a₂=6，∴a_n+1=a_n，n∈N^*，
∴{a_n}是首项为2，公比这3的等比数列，
∴a_n=2×3^n-1．
（3）证明：∵a_n+1=2S_n+2，∴S_n=

an+1

2

-1=3ⁿ-1，…（10分）
b_n=

an+1

Sn+1Sn

=

2×3n

(3n+1-1)(3n-1)

=

(3n+1-1)-(3n-1)

(3n+1-1)(3n-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

…（12分）
∴b₁+b₂+…+b_n=（

1

3-1

-

1

32-1

）+（

1

32-1

-

1

33-1

）+…+（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）
=

1

2

-

1

3n1-1

＜

1

2

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．