Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x²+tx）＜f（x-4）转化为x²+tx＞x-4，研究二次函数得到本题结论；（2）令t=f（x）=2^x-2^-x，得到二次函数h（t）=t²-2mt+2在区间[

3

2

，+∞）上的最小值，分类讨论研究得到m=2，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是定义域为R的奇函数，
∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，
∴a-

1

a

＜0，又∵a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1．
∵a^x单调递减，a^-x单调递增，
∴f（x）在R上单调递减．
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0化为：f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得：-3＜t＜5．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0．
∴a=-

1

2

（舍去）或a=2，
∴a=2，
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（1）可知t=f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，
当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
综上可知m=2．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，还考查了转化化归和分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．