Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=

3

2

a_n-1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=na_n=2n•3^n-1．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

a_n-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，Sn-1=

3

2

an-1-1，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-1-(

3

2

an-1-1)，化为a_n=3a_n-1．
当n=1时，a1=S1=

3

2

a1-1，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴an=2×3n-1．
（2）b_n=na_n=2n•3^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2（1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1），
3T_n=2（3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ），
∴-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=2×(

3n-1

3-1

-n×3n)=（1-2n）×3ⁿ-1．
∴T_n=

(2n-1)×3n+1

2

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．