Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足a_n•b_n=2（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a_n•b_n=2（a_n-1），可得b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2（n∈N⁺），
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为a_n=2a_n-1．
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴an=2n．
（2）∵a_n•b_n=2（a_n-1），∴b_n=2-

2

an

=2-

1

2n-1

，
∴{b_n}的前n项和为T_n=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2+(

1

2

)n-1．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．