Question

记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]（n∈N^*），现有下列命题：
①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，x_n＞

a

-1；
④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则当n≥k时，总有x_n=[

a

]．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．

解答： 解：对于①：当a=5时，x₁=5，x₂=[

5+[ 5 5 ]

2

]=3，x₃=[

3+[ 5 3 ]

2

]=2，故①正确；
对于②：当a=1时，x2=[

1+[ 1 1 ]

2

]=1，x₃=1，x_k恒等于[

1

]=1；
当a=2时，x₁=2，x2=[

2+1

2

]=1，x₃=[

1+[ 2 1 ]

2

]=1，
∴当k≥2时，恒有xk=[

2

]=1；
当a=3时，x₁=3，x₂=2，x₃=1，x₄=2，x₅=1，x₆=2，x₇=1，…，
此时数列{x_n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，
因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x_n=x_k，故②不正确；
对于③：在xn+[

a

xn

]中，当

a

xn

为正整数时，xn+[

a

xn

]=xn+

a

xn

≥2

a

，
∴x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]≥[

2 a

2

]=[

a

]；
当

a

xn

不是正整数时，令[

a

xn

]=

a

xn

-t，t为[

a

xn

]的小数部分，
0＜t＜1，x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]=[

xn+ a xn -t

2

]＞[

2 a -t

2

]=[

a

-

t

2

]=[

a

]，
∴xn+1≥[

a

]，∴xn≥[

a

]，∴xn＞

a

-1，故③正确；
由以上论证知，存在某个正整数k，若x_k+1≥x_k，
则当n≥k时，总有x_n=[

a

]，故④正确．
故答案为：①，③，④．

点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．