Question

已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心C在x轴上，
（1）求圆C的方程
（2）求圆C被直线lx-2y-1=0截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据题意可知线段AB为圆C的一条弦，根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，又因为圆心在x轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
（2）求出圆心到直线x-2y-1=0的距离d，代入弦长公式计算可得答案．

解答： 解：（1）由A（5，1），B（1，3），
得到直线AB的方程为：y-3=

3-1

1-5

（x-1），即x+2y-7=0，
则直线AB的斜率为-

1

2

，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，
又设线段AB的中点为D，则D的坐标为（3，2），
所以线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，
令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为（2，0），
而圆的半径r=|AC|=

10

，
综上，圆C的方程为：（x-2）²+y²=10．
（2）圆心到直线x-2y-1=0的距离d=

1

5

，
故所求的弦长为2

10- 1 5

=

14 5

5

．

点评：此题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的弦长的求解，考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．