Question

如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于C，D，其中∠APE=30°．
（1）求证：

ED

BD

•

PB

PA

=

PD

PC

；
（2）求∠PCE的大小．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,平行线分线段成比例定理,弦切角

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，从而△PED∽△PAC，由此能证明

ED

BD

•

PB

PA

=

PD

PC

．
（2）由∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，得∠CDE=∠ECD，由此能求出∠PCE的大小．

解答： （本小题满分10分）
（1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
则△PED∽△PAC，则

PE

PA

=

PD

PC

，
又

PE

PB

=

ED

BD

，则

ED

BD

•

PB

PA

=

PD

PC

．（5分）
（2）解：由∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
得∠CDE=∠ECD，
在△ECD中，∠CED=30°，
∴∠PCE=75°．（10分）

点评：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．