Question

如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，∠BDA=∠EDA．
（1）证明：AE²=CE•DE；
（2）如果AB=6，AE=3，求BC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）连结OA，由已知得∠OAD=∠ODA，从而∠OAD=∠ADE，进而OA∥DE，由此得到AE是⊙O的切线，从而能够证明AE²=CE•DE．
（2）由圆的性质和弦切角定理得∠DAE=∠ABD，由BD是直径，AE⊥DE，得∠BAD=∠AED=∠BCD=90°，从而△ABD∽△EAD，由此能求出∠EAD=∠ABO=∠OBA=30°，从而得到△ABD≌△BCD，进而能求出BC=AB=6．

解答： （1）证明：连结OA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BDA=∠EDA，∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥DE，
∵AE⊥CD于点E，∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线，
又EDA是⊙O的割线，∴AE²=CE•DE．
（2）解：∵OB=OA=OD，AE是切线，
∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是直径，AE⊥DE，∴∠BAD=∠AED=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△EAD，又AB=6，AE=3，
∴

AB

AE

=

BD

AD

=

1

2

，∴∠EAD=∠ABO=∠OBA=30°，
∠AOB=∠ADO=∠OAD=∠BDC=60°，
又BD=BD，∴△ABD≌△BCD，
∴BC=AB=6．

点评：本题考查AE²=CE•DE的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．