Question

已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，准线与x轴交于点A，过A且斜率为k的直线l与抛物线C交于P、Q两点，求满足

FR

=

FP

+

FQ

的点R的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：由抛物线方程求出准线方程及焦点坐标，进一步求出A的坐标和直线l的方程，联立直线方程与圆锥抛物线方程，利用根与系数的关系得到P，Q两点横纵坐标的和，结合

FR

=

FP

+

FQ

由向量的坐标加法运算得到R的坐标与P，Q坐标的关系，得到R的参数方程，消去参数k后得答案．

解答： 解：由y²=4x，得其准线方程为x=-1，即A（-1，0），焦点F（1，0），
则直线l的方程为y-0=k（x+1），
联立

y2=4x y=kx+k

，消去y得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y），
则x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，x1+x2-1=

4-2k2

k2

-1=

4-3k2

k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2k=

4-2k2

k

+2k=

4

k

．

FR

=(x-1，y)，

FP

=(x1-1，y1)，

FQ

=(x2-1，y2)，
由

FR

=

FP

+

FQ

，得

x-1=x1+x2-2 y=y1+y2

，即

x=x1+x2-1 y=y1+y2

．
∴

x= 4-3k2 k2 y= 4 k

，消去k得：y²=4x+12．
∴满足

FR

=

FP

+

FQ

的点R的轨迹方程为y²=4x+12．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的坐标运算，训练了向量在解圆锥曲线题中的应用，是中档题．