Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2）对任意正整数都成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若k=

1

2

，且S₂₀₁₅=2015a，求a；
（2）是否存在实数k，使数列{a_n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k值，若不存在，请说明理由；
（3）若k=-

1

2

，求Sn．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）k=

1

2

时，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，首项a₁=1，公差d=a₂-a₁=a-1，2015a=2015+

1

2

×2015×2014(a-1)，由此能求出a=1．
（2）设数列{a_n}是等比数列，公比q=

a2

a1

=a，从而am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，由此进行分类讨论，能求出所有k值．
（3）k=-

1

2

，则an+1=-

1

2

(an+an+2)，a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，由此根据n是偶数或奇数进行分类讨论，能求出S_n．

解答： 解：（1）k=

1

2

时，an+1=

1

2

(an+an+2)，
a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
所以数列{a_n}是等差数列，…（1分）
此时首项a₁=1，公差d=a₂-a₁=a-1，
数列{a_n}的前n项和是Sn=n+

1

2

n(n-1)(a-1)，…（3分）
故2015a=2015+

1

2

×2015×2014(a-1)，
即a=1+

1

2

×2014(a-1)，
解得a=1；…（4分）
（没有过程，直接写a=1不给分）
（2）设数列{a_n}是等比数列，则它的公比q=

a2

a1

=a，
所以am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，…（6分）
①若a_m+1为等差中项，则2a_m+1=a_m+a_m+2，
即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合题意；
②若a_m为等差中项，则2a_m=a_m+1+a_m+2，
即2a^m-1=a^m+a^m+1，化简得：a²+a-2=0，
解得a=-2（舍1）；k=

am+1

am+am+2

=

am

am-1+am+1

=

a

1+a2

=-

2

5

；
③若a_m+2为等差中项，则2a_m+2=a_m+1+a_m，
即2a^m+1=a^m+a^m-1，化简得：2a²-a-1=0，
解得a=-

1

2

；k=

am+1

am+am+2

=

am

am-1+am+1

=

a

1+a2

=-

2

5

．…（9分）
综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=-

2

5

．…（10分）
（3）k=-

1

2

，则an+1=-

1

2

(an+an+2)，
a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，…（12分）
当n是偶数时，S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=

n

2

(a1+a2)=

n

2

(a+1)，
当n是奇数时，S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=a1+

n-1

2

(a2+a3)=a1+

n-1

2

[-(a1+a2)]
=1-

n-1

2

(a+1)，n=1也适合上式，…（15分）
综上可得，S_n=

1- n-1 2 (a+1)，n是奇数 n 2 (a+1)，n是偶数

．…（16分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．