Question

已知函数f（x）=ax+

lnx

x

+b．
（1）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a=-

1

2

时，对任意x∈（0，+∞），b∈（-

3

2

，0），xf（x）+c≤0恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据f（x）在定义域上单调递增，在（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立可得a≥-

1-lnx

x2

，构造函数g（x）=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x2

，求其最值即可确定a的范围；
（2）把f（x）的解析式代入g（x）=xf（x）+c，由g（x）≤0分离变量c，构造辅助函数后利用导数求辅助函数的最小值，从而求得c的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+

lnx

x

+b，
∴f′（x）=a+

1-lnx

x2

，
∵f（x）在定义域上单调递增，
∴在（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，
即a≥-

1-lnx

x2

，
令g（x）=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x2

，则g′（x）=

x-2x(lnx-1)

x4

=

3-2lnx

x3

，
当g′（x）＞0，即0＜x＜e

3

2

时，f（x）单调递增，
当g′（x）＜0，即x＞e

3

2

时，f（x）单调递减，
∴g(x)max=g(e

3

2

)=

1

2e3

．
综上，f（x）在定义域上单调递增时，a≥

1

2e3

．

（2）由g（x）=xf（x）+c=lnx-

1

2

x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤

1

2

x2-bx-lnx．
记h（x）=

1

2

x2-bx-lnx（x＞0），则c≤h（x）_min．
h′（x）=x-b-

1

x

，令h′（x）=0，得x²-bx-1=0．
∴x=

b+ b2+4

2

．
当0＜x＜

b+ b2+4

2

时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞

b+ b2+4

2

时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）min=h（

b+ b2+4

2

）
令t=

b+ b2+4

2

，则t²-bt-1=0，即-bt=1-t²
∴h（

b+ b2+4

2

）=

1

2

t²+1-t²-lnt=-

1

2

t²-lnt+1
令r（t）=-

1

2

t²-lnt+1．
∵b∈（-

3

2

，0）时，t=

b+ b2+4

2

∈（

1

2

，1）．
又r（t）在（

1

2

，1）上单调递减，
∴r（t）＞r（1）=

1

2

，
∴b∈（-

3

2

，0）时，h（x）_min＞

1

2

∴c≤

1

2

．
故c的取值范围是（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法、分离变量法和函数构造法，解答的关键是对导函数零点的讨论，是高考试卷中的压轴题．