Question

15．设a∈（0，$\frac{π}{2}$]，则点f（a）=${∫}_{0}^{a}$（cosx-sin2x）dx取最大值时，则a=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先根据定积分的定义表示出∫₀^a（cosx-sin2x）dx，然后利用三角函数中辅助角公式进行化简，即可求出最值，从而求出此时的a的值．

解答 解：∫₀^a（cosx-sin2x）dx=（sinx+$\frac{1}{2}$cos2x）|₀^a
=sina+$\frac{1}{2}$cos2a-（sin0+$\frac{1}{2}$cos0）
=sina+$\frac{1}{2}$（1-2sin²a）-$\frac{1}{2}$
=-sin²a+sinα
=-（sina-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
当a=$\frac{π}{6}$时，∫₀^a（cosx-sin2x）dx取最大值$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$

点评 本题主要考查了定积分的应用，以及三角函数中辅助角公式的运用，属于基础题．