Question

（2013•成都模拟）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：

分组	频数	频率
[10，15）	5	0.25
[15，20）	12	n
[20，25）	m	p
[25，30）	1	0.05
合计	M	1

（1）求出表中m、p的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在[25，30）区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在[25，30）区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在[15，20）区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在[10，15）区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由题知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，再由5+12+m+1=M，能求出[15，20）组的频率与组距之比．
（2）由（1）能求出参加服务次数在区间[15，20）上的人数．
（3）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，分别求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）由题知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
又5+12+m+1=M，
解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…（4分）
（2）由（1）知，参加服务次数在区间[15，20）上的人数为360×0.6=216人．…（7分）
（3）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=

C 2 5 + C 2 12 + C 2 2

C 2 20

=

10+66+1

190

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 C 2 12 + C 1 12 C 1 2 + C 1 2 C 1 1

C 2 20

=

60+24+

190

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 C 1 2 + C 1 12 C 1 1

C 2 20

=

10+12

190

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 C 1 1

C 2 20

=

5

190

．…（10分）
所以X的分布列为：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

EX=0×

77

190

+20×

86

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．