Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c对于任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax在x∈[3，6]上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先由f（1+x）=f（1-x）得对称轴为x=1，求出b，然后由f（0）=3求出c，代入函数解析式即可，（2）将（1）中f（x）=x²-2x+3代入g（x）得出其解析式，并求出对称轴，然后由函数g（x）在x∈[3，6]上单调，则对称轴在区间左侧或右侧，得不等式，求解即可．

解答： 解；（1）由函数对于任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立得对称轴为x=1，
故-

b

2

=1⇒b=-2，
又∵f（0）=3，
∴c=3，
∴f（x）=x²-2x+3；
（2）根据题意由g（x）f（x）-ax=x²-（a+2）x+3，其图象对称轴为x=

a+2

2

，
若g（x）在x∈[3，6]上单调，则有

a+2

2

≤3或

a+2

2

≥6，
解得a≤4或a≥10．

点评：本题考查二次函数的基本性质，主要是对称轴和在闭区间上的单调性问题，属于中档题目．