Question

已知双曲线x2-

y2

2

=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为A、B中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）若P的坐标为（1，1），这样的直线是否存在，如存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直线上一点P（1，2），求直线的方程，关键求直线的斜率，由中点公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=4，
可得K_AB，从而点斜式写出直线方程．
（2）先假设直线l存在，依据条件去求，能求出符合条件的直线l方程，则直线l真正存在，否则，直线l不存在．

解答：解：（1）设直线l与双曲线交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入方程得：
x₁²-

y12

2

=1     ①，x₂²-

y22

2

=1     ②，
①-②得：（x₁-x₂）•（x₁+x₂） _

( y1 +y2)(y1- y2)

2

=0．
∵P为A、B中点，由中点公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=4，
∴

y2-y1

x2-x1

=1=K_AB，∴直线l方程为：y-2=1•（x-1），即：x-y+1=0．
（2）假设直线l存在，设直线l与双曲线交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）知，
（x₁-x₂）•（x₁+x₂） _

( y1 +y2)(y1- y2)

2

=0
由中点公式得：（x₁+x₂）=2，y₁+y₂=2，

y2-y1

x2-x1

=2=K_AB，
∴直线l方程为：y-1=2（ x-1 ），即：2x-y-1=0．
但把求出的直线2x-y-1=0代入双曲线x2-

y2

2

=1可得 2x²-4x+3=0，由于判别式△=16-24=-8＜0，
故满足条件的直线不存在．

点评：本题主要考查直线的方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，注意设而不求得解题思想的应用，属于中档题．