Question

3．若实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$，则目标函数z=x-3y的最大值是2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：由z=x-3y得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$经过点A时，直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最小，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
将A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．代入目标函数z=x-3y，
得z=$\frac{1}{2}$-3×（-$\frac{1}{2}$）=2．
∴目标函数z=x-3y的最大值是2．
故答案为：2

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．