Question

11．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点是F，准线是l，经过C上两点A、B分别作C的切线l₁、l₂．
（Ⅰ）若l₁交y轴于点D，求证：△AFD为等腰三角形；
（Ⅱ）设l₁与l₂交于点E在l上，若△ABE面积S的最小值是4，求C的方程．

Answer 1

分析 （I）设$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{2p}）$，求出切线方程，利用抛物线的定义求解$|AF|=\frac{p}{2}+\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，然后证明△AFD为等腰三角形．
（II）设$B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{2p}）$，切线l₂的方程是$y=\frac{x_2}{p}x-\frac{{{x_2}^2}}{2p}$，求出E的坐标，通过E在l：$y=-\frac{p}{2}$上，推出${x_1}{x_2}=-{p^2}$，设AB：y=kx+b，联立直线与抛物线的方程，求出E到直线AB距离，弦长公式求出|AB|，得到撒克逊的面积的表达式，然后求解最小值，即可求解抛物线的方程．

解答 解：（I）∵$y=\frac{x^2}{2p}$，∴设$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{2p}）$，
∵$y'=\frac{x}{p}$，∴l₁的方程是$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，…（2分）
∴$D（0，-\frac{{{x_1}^2}}{2p}）$，∵$F（0，\frac{p}{2}）$，∴$|DF|=\frac{p}{2}+\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，
而$|AF|=\frac{p}{2}+\frac{{{x_1}^2}}{2p}$，
∴|DF|=|AF|，△AFD为等腰三角形；…（4分）
（II）设$B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{2p}）$，则切线l₂的方程是$y=\frac{x_2}{p}x-\frac{{{x_2}^2}}{2p}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{p}x-\frac{{{x_1}^2}}{2p}\\ y=\frac{x_2}{p}x-\frac{{{x_2}^2}}{2p}\end{array}\right.$，得$E（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{2p}）$，…（6分）
∵E在l：$y=-\frac{p}{2}$上，∴${x_1}{x_2}=-{p^2}$，…（8分）
显然直线AB斜率存在，设AB：y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2py\\ y=kx+b\end{array}\right.$，得x²-2pkx-2pb=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2pk\\{x_1}{x_2}=-2pb\end{array}\right.$，
∴2pb=-p²，$b=\frac{p}{2}$，
∴$E（pk，-\frac{p}{2}）$，直线AB：$y=kx+\frac{p}{2}$，
∴E到直线AB距离$d=\frac{{|p{k^2}+p|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=p\sqrt{{k^2}+1}$，$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2p（{k^2}+1）$，
∴$S=\frac{1}{2}|AB|d={p^2}\sqrt{{{（{k^2}+1）}^3}}≥{p^2}$，当k=0时，S取最小值p²，
由p²=4，得C的方程是x²=4y．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．