Question

16．如图，在空间几何体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC和△ACD都是边长为2的等边三角形，BE=2，点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上，若DE∥平面ABC．
（Ⅰ）求DE边的长度；
（Ⅱ）求棱锥A-CDE的体积与棱锥A-BCE的体积的比值．

Answer 1

分析 （I）取AC中点O，连结BO、DO，作EF⊥平面ABC，证明DO⊥平面ABC，说明E、F、O、D共面，然后求解DE的长．
（II）利用V_A-CDE=V_E-ACD，V_A-BCE=V_E-ABC，然后求解体积的比值．

解答 解：（I）取AC中点O，连结BO、DO，
作EF⊥平面ABC，则垂足F在BO上，
∵DO⊥AC，平面ACD⊥平面ABC，
交线是AC，∴DO⊥平面ABC，
则EF∥DO，∴E、F、O、D共面，
∵DE∥平面ABC，面EFOD∩面ABC=OD，
∴DF∥OF，∴$EF=DO=\sqrt{3}$，
∴BF=1，$DE=OF=\sqrt{3}-1$；…（6分）
（II）∵V_A-CDE=V_E-ACD，V_A-BCE=V_E-ABC，
由（I）棱锥E-ACD和棱锥E-ABC的高分别是ED和EF，
它们的底面△ABC和△ACD全等，
∴$\frac{{{V_{E-ACD}}}}{{{V_{E-ABC}}}}=\frac{DE}{EF}=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$． …（12分）

点评 本题考查几何体的体积，点线面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．