Question

5．用数学归纳法证明：x^2n-1+y^2n-1（n∈N₊）能被x+y整除．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式分解，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答 证明：①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x^2k-1+y^2k-1能被x+y整除
则当n=k+1时，
x^2k+1+y^2k+1=x²x^2k-1+y²y^2k-1
=x²x^2k-1+x²y^2k-1-x²y^2k-1+y²y^2k-1
=x²（x^2k-1+y^2k-1）-（x²-y²）y^2k-1
=x²（x^2k-1+y^2k-1）-（x+y）（x-y）y^2k-1，
∴x^2k+1+y^2k+1也能被x+y整除
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N^*，x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除．

点评 本题考查数学归纳法的运用，解题的关键正确运用数学归纳法的证题步骤，属于中档题．