Question

17．函数f（x）=asinx+bcosx的图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{3}$，则直线ax+by+c=0的倾斜角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 方法一：由题意可得±$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+b•$\frac{1}{2}$，平方化简求得$\frac{a}{b}$ 的值，可得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角．
方法二：由题意可得，f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），求得$\frac{a}{b}$的值，可得直线ax+by+c=0的斜率-$\frac{a}{b}$的值，从而求得此直线的倾斜角．

解答 解：方法一：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+b•$\frac{1}{2}$，平方化简可得${（\frac{a}{b}）}^{2}$-2$\sqrt{3}$•$\frac{a}{b}$+3=0，
求得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，可得直线ax+by+c=0的斜率为-$\frac{a}{b}$=-$\sqrt{3}$，
故此直线的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，
故选：C．
方法二：由题意可得，f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{b}{2}$，求得$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，
可得直线ax+by+c=0的斜率为-$\frac{a}{b}$=-$\sqrt{3}$，故此直线的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要f（x）=asinx+bcosx的最值±$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，函数的对称性的性质，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．