Question

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为$\frac{c}{2}$，且a²+b²=2$\sqrt{2}$ab，则C=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知及三角形面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$c×$\frac{c}{2}$，可得c²=2absinC，由余弦定理可得：cosC=$\sqrt{2}$-sinC，从而解得sin2C=1，结合C的范围即可得解．

解答 解：∵AB边上的高为$\frac{c}{2}$，且a²+b²=2$\sqrt{2}$ab，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$c×$\frac{c}{2}$，可得：sinC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$，c²=2absinC，
∵由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2\sqrt{2}ab-2absinC}{2ab}$=$\sqrt{2}$-sinC．
∴可得：sinC+cosC=$\sqrt{2}$，两边平方即有：1+sin2C=2，解得：sin2C=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴2C=$\frac{π}{2}$，解得：C=$\frac{π}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，二倍角公式的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．